Готовимся к зачёту и сессии

Обсуждение задач по математике, физике, экономическим, техническим и гуманитарным дисциплинам. Оказание услуг по выполнению студенческих контрольных и курсовых работ. Вы обязательно найдёте тех, с кем можно обсудить тот или иной вопрос по данной тематике!
 
ФорумФорум  ПорталПортал  КалендарьКалендарь  ЧаВоЧаВо  ПоискПоиск  ПользователиПользователи  ГруппыГруппы  РегистрацияРегистрация  Вход  
Последние темы
Поиск
 
 

Результаты :
 
Rechercher Расширенный поиск

Поделиться | 
 

 Найти область сходимости ряда

Перейти вниз 
АвторСообщение
Ирина



Сообщения : 3
Дата регистрации : 2011-03-20

СообщениеТема: Найти область сходимости ряда   Вс Мар 20, 2011 9:15 pm

Сумма от 1 до бесконечности по n
(1*3*5*...*(2n-1)*(x-1)^n)/(2*4*6*...*(2n)*(2^n))
по признаку Даламбера интервал сходимости вышел (-1;3), но в точках -1 и 3 на сходимость ряд проверить не получается( как быть?
Вернуться к началу Перейти вниз
Посмотреть профиль
5ballov
Admin
avatar

Сообщения : 120
Дата регистрации : 2010-01-02
Откуда : Киев

СообщениеТема: Re: Найти область сходимости ряда   Вс Мар 20, 2011 9:18 pm

Если мы находили интервал сходимости ряда по признаку Даламбера (желательно показать, как), то признак Даламбера (как и равноценный ему радикальный признак Коши) не даст ответа на вопрос о сходимости ряда на границах интервала. Нужно применить более сильный признак. Знакомы ли Вы с признаком Раабе?
Вернуться к началу Перейти вниз
Посмотреть профиль http://5ballov.pp.ua/
Ирина



Сообщения : 3
Дата регистрации : 2011-03-20

СообщениеТема: Re: Найти область сходимости ряда   Вс Мар 20, 2011 9:31 pm

признак Даламбера:
Вернуться к началу Перейти вниз
Посмотреть профиль
5ballov
Admin
avatar

Сообщения : 120
Дата регистрации : 2010-01-02
Откуда : Киев

СообщениеТема: Re: Найти область сходимости ряда   Вс Мар 20, 2011 9:46 pm

Найти область сходимости ряда


Общий член исследуемого ряда выражается формулой:   aռ = bռ·(x − 1)ⁿ,
где   bռ = 1·3·…·(2·n − 1)/(2·4·…·(2·n)·2ⁿ)


Последний раз редактировалось: Admin (Вс Мар 20, 2011 10:11 pm), всего редактировалось 1 раз(а)
Вернуться к началу Перейти вниз
Посмотреть профиль http://5ballov.pp.ua/
5ballov
Admin
avatar

Сообщения : 120
Дата регистрации : 2010-01-02
Откуда : Киев

СообщениеТема: Re: Найти область сходимости ряда   Вс Мар 20, 2011 10:00 pm

Радиус сходимости ряда найдём с помощью признака Даламбера.

bռ₊₁ = 1·3·…·(2·n − 1)·(2·n + 1)/(2·4·…·(2·n)·(2·n + 2)·2ⁿ⁺¹)
bռ ÷ bռ₊₁ = 2·(2·n + 2)/(2·n − 1)

Радиус сходимости

Вернуться к началу Перейти вниз
Посмотреть профиль http://5ballov.pp.ua/
5ballov
Admin
avatar

Сообщения : 120
Дата регистрации : 2010-01-02
Откуда : Киев

СообщениеТема: Re: Найти область сходимости ряда   Вс Мар 20, 2011 10:10 pm

Найдём теперь интервал сходимости ряда:
|x − 1| < 2 ⇒ −2 < x − 1 < 2 ⇒ −1 < x < 3
x ∈ (−1; 3) — интервал сходимости ряда.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала.
При   x = 3   получаем знакопостоянный ряд
,
общий член которого   aռ = 1·3·…·(2·n − 1)/(2·4·…(2·n))

Как я уже писал, признак Даламбера (и равноценный ему радикальный признак Коши), по которому мы определяли границы интервала сходимости, не дадут ответа на вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Необходимо использовать более сильный признак.

Обратимся в признаку Раабе.

aռ₊₁ = 1·3·…·(2·n − 1)·(2·n + 1)/(2·4·…(2·n)·(2·n + 2))

aռ ÷ aռ₊₁ = (2·n + 2)/(2·n + 1); aռ/aռ₊₁ − 1 = 1/(2·n + 1)
n·(aռ/aռ₊₁ − 1) = n/(2·n + 1)

Найдём предел



Еcли   p > 1 — то ряд сходится. если p < 1, то расходится.
Поскольку p = ½ < 1, то при x = 3 исследуемый знакопостоянный ряд расходится.
Вернуться к началу Перейти вниз
Посмотреть профиль http://5ballov.pp.ua/
Ирина



Сообщения : 3
Дата регистрации : 2011-03-20

СообщениеТема: Re: Найти область сходимости ряда   Вт Мар 22, 2011 5:57 am

Для х=-1 получим знакочередующийся ряд
сумма по эн от 1 до бесконечности ((-1)^n)*(1*3*5*...*(2n-1))/(2*4*6*...*(2n))= сумма от 1 до бесконечности Cn
проверим теорему Лейбница
1)An/An+1=(1*3*5*...*(2n-1)/2*4*6*...*(2n))/(1*3*5*...*(2n-1)*(2n+1)/2*4*6*...*2n*(2n+2))=(2n+2)/(2n+1) >1, значит An=|Cn|>An+1=|Cn+1|, n=1,2,3....
2)найдем предел An (n-> inf)
limAn=lim (1*3*5*...*(2n-1)/(2*4*6*...*(2n))=[домножим на 2*4*6...*2n]=lim (1*2*3*4*...*(2n-1)*(2n))/(2*4*6*...*(2n))^2=lim (2n)!/((n!)*2^n)^2=[Используем формулу Стирлинга n! эевивалентно ((2pi*n)^(1/2))*(n/e)^n]= lim (((4pi*n)^(1/2))*(2n/e)^n)/((2^2n)*(2pi*n*(n/e)^(2n)))= lim 1/(pi*n)^(1/2) = 0
По теореме Лейбница ряд сходится
Значит область сходимости изначального ряда [-1;3)
Может так??
Вернуться к началу Перейти вниз
Посмотреть профиль
Спонсируемый контент




СообщениеТема: Re: Найти область сходимости ряда   

Вернуться к началу Перейти вниз
 
Найти область сходимости ряда
Вернуться к началу 
Страница 1 из 1

Права доступа к этому форуму:Вы не можете отвечать на сообщения
Готовимся к зачёту и сессии :: Математика-
Перейти: