Готовимся к зачёту и сессии

Обсуждение задач по математике, физике, экономическим, техническим и гуманитарным дисциплинам. Оказание услуг по выполнению студенческих контрольных и курсовых работ. Вы обязательно найдёте тех, с кем можно обсудить тот или иной вопрос по данной тематике!
 
ФорумФорум  ПорталПортал  КалендарьКалендарь  ЧаВоЧаВо  ПоискПоиск  ПользователиПользователи  ГруппыГруппы  РегистрацияРегистрация  Вход  
Последние темы
Поиск
 
 

Результаты :
 
Rechercher Расширенный поиск

Поделиться | 
 

 Центр тяжести (центроид) треугольника. Векторная алгебра.

Перейти вниз 
АвторСообщение
Марина



Сообщения : 29
Дата регистрации : 2010-01-02
Возраст : 25
Откуда : Екатеринбург

СообщениеТема: Центр тяжести (центроид) треугольника. Векторная алгебра.   Вс Янв 03, 2010 7:00 am

Дано: AN, CP, BL – медианы треугольника АВС
Наша задача – выразить вектор ОМ через векторы ОА, ОВ, ОС

Решение



ОМ = ОС + СМ
ОМ = ОВ + ВМ
ОМ = ОА + АМ
Сложим три векторных равенства и получим:
ОМ = (ОС + ОВ + ОА) + (СМ + ВМ + АМ) = (ОС + ОВ + ОА) + (СN +NM + ВN + NM + АМ) =
= (ОС + ОВ + ОА) + (1/3· NA + 1/3· NA + 2/3· AN) = (ОС + ОВ + ОА)

Итак, вектор ОМ = (1/3)·(ОС + ОВ + ОА) Very Happy
Вернуться к началу Перейти вниз
Посмотреть профиль
5ballov
Admin
avatar

Сообщения : 120
Дата регистрации : 2010-01-02
Откуда : Киев

СообщениеТема: Re: Центр тяжести (центроид) треугольника. Векторная алгебра.   Чт Янв 07, 2010 4:35 pm

Из Вашего решения получается, векторное равенство
2·NM + AM = ⅔·(NA + AN) = 0
А можно ли показать, что в точке пересечения медианы треугольника делятся в соотношении 2:1?
Вернуться к началу Перейти вниз
Посмотреть профиль http://5ballov.pp.ua/
Castiel



Сообщения : 5
Дата регистрации : 2010-01-05
Возраст : 27
Откуда : Горловка

СообщениеТема: Re: Центр тяжести (центроид) треугольника. Векторная алгебра.   Чт Янв 07, 2010 5:36 pm

А можно ли показать, что в точке пересечения медианы треугольника делятся в соотношении 2:1?


Мы должны показать, что AO/OL=OB/OK=2/1.
Решение
Заметим, что KL средняя линия треугольника ABC.
KL||AB, и отношение KL/AB равно 1/2.
Рассмотрим треугольники KLO и AOB. Угол OKL равен углу OBA и угол KLO равен углу OAB, как внутренние накрест лежащие.Треугольники KLO и AOB подобны, т.к у них 2 пары равных углов . Из подобия следует:
KL/AB=AO/OL=OB/OK=2/1
Итак, AO/OL=OB/OK=2/1
Мы доказали, что две медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1.
То, что третья медиана и одна из этих двух делятся точкой пересечения в том
же отношении, доказывается аналогично.
Вернуться к началу Перейти вниз
Посмотреть профиль
Марина



Сообщения : 29
Дата регистрации : 2010-01-02
Возраст : 25
Откуда : Екатеринбург

СообщениеТема: Re: Центр тяжести (центроид) треугольника. Векторная алгебра.   Чт Янв 07, 2010 6:28 pm

Конечно можно)) Вот один вариант уже предложен) Предложу ещё один Wink



АК = КС,   СН = НВ
По теореме о пропорциональных отрезках:

ВО/ОК = (ВН/НС)·(1 + СК/КА) = 1·(1 + 1) = 2
ВО = 2·ОК, что и означает, что точка О делит медиану ВК в отношении 2 к 1, считая от вершины. Аналогично доказываем для любой из трёх медиан sunny
Вернуться к началу Перейти вниз
Посмотреть профиль
somessanctus



Сообщения : 2
Дата регистрации : 2010-08-10

СообщениеТема: Re: Центр тяжести (центроид) треугольника. Векторная алгебра.   Вт Авг 10, 2010 12:30 pm

вообще вы нашли не ортоцентр(точка пересечения высот треугольника), а центроид(пересечение его медиан)
можно ли векторным способом найти именно ортоцентр?
Вернуться к началу Перейти вниз
Посмотреть профиль
5ballov
Admin
avatar

Сообщения : 120
Дата регистрации : 2010-01-02
Откуда : Киев

СообщениеТема: Re: Центр тяжести (центроид) треугольника. Векторная алгебра.   Ср Янв 16, 2013 6:26 pm

Цитата :
вообще вы нашли не ортоцентр(точка пересечения высот треугольника), а центроид(пересечение его медиан)
Огромное спасибо! Ошибку исправил.
Цитата :
можно ли векторным способом найти именно ортоцентр?
Обсуждал этот вопрос. Чисто векторным способом нельзя. Возможно, найдутся желающие попробовать с помощью оператора поворота вектора на прямой угол.
Вернуться к началу Перейти вниз
Посмотреть профиль http://5ballov.pp.ua/
somessanctus



Сообщения : 2
Дата регистрации : 2010-08-10

СообщениеТема: Re: Центр тяжести (центроид) треугольника. Векторная алгебра.   Ср Янв 16, 2013 8:19 pm

Забавно, через три года услышать ответ)
Если интересно, то с задачей я справился, получился вот такой вот инструмент:
[Вы должны быть зарегистрированы и подключены, чтобы видеть эту ссылку]
Вернуться к началу Перейти вниз
Посмотреть профиль
Спонсируемый контент




СообщениеТема: Re: Центр тяжести (центроид) треугольника. Векторная алгебра.   

Вернуться к началу Перейти вниз
 
Центр тяжести (центроид) треугольника. Векторная алгебра.
Вернуться к началу 
Страница 1 из 1

Права доступа к этому форуму:Вы не можете отвечать на сообщения
Готовимся к зачёту и сессии :: Математика-
Перейти: