Готовимся к зачёту и сессии

Обсуждение задач по математике, физике, экономическим, техническим и гуманитарным дисциплинам. Оказание услуг по выполнению студенческих контрольных и курсовых работ. Вы обязательно найдёте тех, с кем можно обсудить тот или иной вопрос по данной тематике!
 
ФорумФорум  ПорталПортал  КалендарьКалендарь  ЧаВоЧаВо  ПоискПоиск  ПользователиПользователи  ГруппыГруппы  РегистрацияРегистрация  Вход  
Последние темы
Поиск
 
 

Результаты :
 
Rechercher Расширенный поиск

Поделиться | 
 

 Планиметрия. Трапеция

Перейти вниз 
АвторСообщение
Castiel



Сообщения : 5
Дата регистрации : 2010-01-05
Возраст : 27
Откуда : Горловка

СообщениеТема: Планиметрия. Трапеция   Вт Янв 05, 2010 7:54 pm

Дано:
Трапеция ABCD.

Точки K и M — середины сторон AB и DC соответственно. L — точка пересечения диагоналей, N — точка пересечения боковых сторон.
Доказать, что точки K, L, M, N лежат на одной прямой


Последний раз редактировалось: Admin (Вт Янв 05, 2010 9:14 pm), всего редактировалось 2 раз(а)
Вернуться к началу Перейти вниз
Посмотреть профиль
5ballov
Admin
avatar

Сообщения : 120
Дата регистрации : 2010-01-02
Откуда : Киев

СообщениеТема: Re: Планиметрия. Трапеция   Чт Янв 07, 2010 3:13 pm

Лемма
Треугольники, соответствующие стороны которых параллельны (они могут лежать и на одной прямой), — подобны. Это следует из признака подобия треугольников по 2 углам.

△ANB и △DNC подобны. AB ∥ CD как основания трапеции, A ∈ DN, B ∈ CN.
MN
— медиана △ANB, KN — медиана △DNC, откуда MN ∥ KN. Вершина N — общая.
Поэтому M ∈ KN.
△ALB
и △DLC подобны. AB ∥ CD, L ∈ AC, L ∈ BD.
ML
— медиана △ALB, KL — медиана △DLC, откуда ML ∥ KL. Вершина L — общая.
Поэтому L ∈ KM.
Точки K, L, M, N лежат на одной прямой. Доказано.
Вернуться к началу Перейти вниз
Посмотреть профиль http://5ballov.pp.ua/
Марина



Сообщения : 29
Дата регистрации : 2010-01-02
Возраст : 25
Откуда : Екатеринбург

СообщениеТема: Re: Планиметрия. Трапеция   Чт Янв 07, 2010 6:19 pm

Данную задачу можно решать и с помощью векторов Smile
1) Для начала вспомним две очень полезных в данном случае теоремы:

Теорема: Точка С с радиус-вектором с лежит на прямой АВ тогда и только тогда, когда существуют числа х и у, такие, что с = ха + уb и х + у = 1, где а и b – радиус-векторы точек А и В. (1)

Теорема: Радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов концов отрезка. (2)

2) Теперь вернёмся к данной задаче. Примем точку D за начальную точку и введём следующие радиус-векторы: DN, DM, DL, DK. Используя теорему (1) мы сможем доказать, что точки N, M, L, K лежат на одной прямой. Также в процессе решения понадобится теорема (2), будет использоваться подобие треугольников ANB и DNC.

Если кому интересно такое решение - смотри его подробнее в приложенном рисунке Wink
Вернуться к началу Перейти вниз
Посмотреть профиль
Спонсируемый контент




СообщениеТема: Re: Планиметрия. Трапеция   

Вернуться к началу Перейти вниз
 
Планиметрия. Трапеция
Вернуться к началу 
Страница 1 из 1

Права доступа к этому форуму:Вы не можете отвечать на сообщения
Готовимся к зачёту и сессии :: Математика-
Перейти: