Готовимся к зачёту и сессии

Обсуждение задач по математике, физике, экономическим, техническим и гуманитарным дисциплинам. Оказание услуг по выполнению студенческих контрольных и курсовых работ. Вы обязательно найдёте тех, с кем можно обсудить тот или иной вопрос по данной тематике!
 
ФорумФорум  ПорталПортал  КалендарьКалендарь  ЧаВоЧаВо  ПоискПоиск  ПользователиПользователи  ГруппыГруппы  РегистрацияРегистрация  Вход  
Последние темы
Поиск
 
 

Результаты :
 
Rechercher Расширенный поиск

Поделиться | 
 

 Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Перейти вниз 
АвторСообщение
Марина



Сообщения : 29
Дата регистрации : 2010-01-02
Возраст : 25
Откуда : Екатеринбург

СообщениеТема: Линейная алгебра. Аналитическая геометрия   Ср Окт 24, 2012 7:23 pm

Попалась задачка:

Даны координаты точек M₁(2; 1), M₂(5; 3), M₃(3, −4). Они являются серединами сторон треугольника. Найти координаты вершин треугольника. Составить уравнения его сторон.

В голову приходит решение только через составление системы уравнений. Можно ли решить данную задачу рациональнее?
Заранее спасибо!
Вернуться к началу Перейти вниз
Посмотреть профиль
5ballov
Admin
avatar

Сообщения : 120
Дата регистрации : 2010-01-02
Откуда : Киев

СообщениеТема: Re: Линейная алгебра. Аналитическая геометрия   Ср Окт 24, 2012 8:10 pm

Не только можно, но и нужно! И поможет нам в этом элементарный школьный курс планиметрии!

Пусть A, B, C — вершины треугольника, лежащие соответственно напротив точек M₁, M₂, M₃. Найдём сперва координаты вершины A.
Покажем, что AM₂M₁M₃ — параллелограмм.
Действительно, M₂ ∈ AC, M₃ ∈ AB;
M₁M₃ ∥ AM₂(AC), M₁M₂ ∥ AM₃(AB) как средние линии треугольника ABC.
Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам:
½ (xA + x₁) = ½ (x₂ + x₃), откуда
xA = x₂ + x₃ − x₁ = 5 + 3 − 2 = 6
Аналогично:   yA = y₂ + y₃ − y₁ = 3 + (−4) − 1 = −2
A(6; −2)
Циклически переставляя индексы, получаем координаты остальных вершин треугольника.
xB = x₃ + x₁ − x₂ = 3 + 2 − 5 = 0
yB = y₃ + y₁ − y₂ = −4 + 1 − 3 = −6
B(0; −6)
xC = x₁ + x₂ − x₃ = 2 + 5 − 3 = 4
yC = y₁ + y₂ − y₃ = 1 + 3 − (−4) = 8
C(4; 8 )
Вернуться к началу Перейти вниз
Посмотреть профиль http://5ballov.pp.ua/
5ballov
Admin
avatar

Сообщения : 120
Дата регистрации : 2010-01-02
Откуда : Киев

СообщениеТема: Re: Линейная алгебра. Аналитическая геометрия   Ср Окт 24, 2012 8:37 pm

Перейдём теперь к составлению уравнений сторон треугольника.
Сторона AB.
(x − xB)/(xA − xB) = (y − yB)/(yA − yB)
(x − 0)/(6 − 0) = (y + 6)/(−2 + 6) ⇒ x/6 = (y + 6)/4
2·x = 3·(y + 6) ⇒ 2·x − 3·y − 18 = 0
Сторона BC.
(x − xB)/(xC − xB) = (y − yB)/(yC − yB)
(x − 0)/(4 − 0) = (y + 6)/(8 + 6) ⇒ x/4 = (y + 6)/14
7·x = 2·(y + 6) ⇒ 7·x − 2·y − 12 = 0
Сторона AC.
(x − xC)/(xA − xC) = (y − yC)/(yA − yC)
(x − 4)/(6 − 4) = (y − 8 )/(−2 − 8 ) ⇒ (x − 4)/2 = (y − 8 )/(−14)
7·(x − 4) = −(y − 8 ) ⇒ 7·x + y − 20 = 0

И в заключение покажу иллюстрацию того, как не следует решать такие задачи.

Спойлер:
 
Вернуться к началу Перейти вниз
Посмотреть профиль http://5ballov.pp.ua/
Спонсируемый контент




СообщениеТема: Re: Линейная алгебра. Аналитическая геометрия   

Вернуться к началу Перейти вниз
 
Линейная алгебра. Аналитическая геометрия
Вернуться к началу 
Страница 1 из 1

Права доступа к этому форуму:Вы не можете отвечать на сообщения
Готовимся к зачёту и сессии :: Математика-
Перейти: