Готовимся к зачёту и сессии

Обсуждение задач по математике, физике, экономическим, техническим и гуманитарным дисциплинам. Оказание услуг по выполнению студенческих контрольных и курсовых работ. Вы обязательно найдёте тех, с кем можно обсудить тот или иной вопрос по данной тематике!
 
ФорумФорум  ПорталПортал  КалендарьКалендарь  ЧаВоЧаВо  ПоискПоиск  ПользователиПользователи  ГруппыГруппы  РегистрацияРегистрация  Вход  
Последние темы
Поиск
 
 

Результаты :
 
Rechercher Расширенный поиск

Поделиться | 
 

 Линейное дифференциальное уравнение Эйлера

Перейти вниз 
АвторСообщение
Марина



Сообщения : 29
Дата регистрации : 2010-01-02
Возраст : 25
Откуда : Екатеринбург

СообщениеТема: Линейное дифференциальное уравнение Эйлера   Ср Янв 02, 2013 10:12 pm

Давайте рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения Эйлера

x²·y'' − x·y' + y = x/ln x
Вернуться к началу Перейти вниз
Посмотреть профиль
5ballov
Admin
avatar

Сообщения : 120
Дата регистрации : 2010-01-02
Откуда : Киев

СообщениеТема: Re: Линейное дифференциальное уравнение Эйлера   Ср Янв 02, 2013 10:55 pm

Конечно, давайте рассмотрим Smile
В литературе можно прочитать, какие дифференциальные уравнения называются уравнениями Эйлера, и о способах их решения.
Обычно способы решения сводятся к подстановкам вида   x = exp(t)   или
y = xk. Найдя общее решение однородного уравнения, решение неоднородного ищут обычно методом вариации произвольной постоянной.

Попытаемся найти решение уравнения более простым способом.
Подстановка   y = x·t. Тогда   y' = x·t' + t
Вторую производную найдём по формуле Лейбница
y'' = x·t'' + 2·x·t'
Подставим производные в исходное уравнение.
x²·(x·t'' + 2·x·t') − x·(x·t' + t) + x·t = x²·(x·t'' + t') = x/ln x
Разделим обе части уравнения на   x²   при условии   x > 0
x·t'' + t' = 1/(x·ln x)
Вспоминая формулы дифференцирования, замечаем, что в левой части — производная произведения, что позволяет нам найти решение уравнения непосредственным интегрированием, без применения метода вариации произвольной постоянной.
(x·t')' = 1/(x·ln x)
Интегрируем
x·t' = ∫dx/(x·ln x) = ∫d(ln x)/ln x = ln(ln x) + C₁ + 1
t' = (ln(ln x) + C₁ + 1)/x
Интегрируем повторно по частям.
t = ∫(ln(ln x) + C₁ + 1)·dx/x = ∫(ln(ln x) + C₁ + 1)·d(ln x) = [v = ln x] =
= ∫(ln v + C₁ + 1)·dv = v·(ln v + C₁ + 1) − ∫dv = v·(ln v + C₁) + C₂ =
= ln x·(ln(ln x) + C₁) + C₂
y = x·(ln x·(ln(ln x) + C₁) + C₂) — общее решение линейного дифференциального уравнения Эйлера
Вернуться к началу Перейти вниз
Посмотреть профиль http://5ballov.pp.ua/
 
Линейное дифференциальное уравнение Эйлера
Вернуться к началу 
Страница 1 из 1

Права доступа к этому форуму:Вы не можете отвечать на сообщения
Готовимся к зачёту и сессии :: Математика-
Перейти: