Готовимся к зачёту и сессии

Обсуждение задач по математике, физике, экономическим, техническим и гуманитарным дисциплинам. Оказание услуг по выполнению студенческих контрольных и курсовых работ. Вы обязательно найдёте тех, с кем можно обсудить тот или иной вопрос по данной тематике!
 
ФорумФорум  ПорталПортал  КалендарьКалендарь  ЧаВоЧаВо  ПоискПоиск  ПользователиПользователи  ГруппыГруппы  РегистрацияРегистрация  Вход  
Последние темы
Поиск
 
 

Результаты :
 
Rechercher Расширенный поиск

Поделиться | 
 

 Дифференциальное уравнение второго порядка

Перейти вниз 
АвторСообщение
5ballov
Admin
avatar

Сообщения : 120
Дата регистрации : 2010-01-02
Откуда : Киев

СообщениеТема: Дифференциальное уравнение второго порядка   Вт Янв 08, 2013 11:13 pm

Найти общее решение дифференциального уравнения
2·y'' − y'² = 0

Я нашёл это уравнение с решением на мейловских ответах. Вот оно:

Спойлер:
 

Решение мне не понравилось, несмотря на верный ответ. И вот, почему. Да, действительно данное уравнение не содержит в явном виде переменной   x. Но из этого вовсе не следует, что решать его надо исключительно с помощью замены (подстановки)   y' = p(y).
Как ещё можно проинтегрировать данное дифференциальное уравнение второго порядка?
Вернуться к началу Перейти вниз
Посмотреть профиль http://5ballov.pp.ua/
Виктор



Сообщения : 8
Дата регистрации : 2011-05-18

СообщениеТема: Re: Дифференциальное уравнение второго порядка   Вт Янв 08, 2013 11:19 pm

2y'' − y'²=0;   y=y(x)
2y''/y'=y'
2(lny')'=y'
∫(lny')'dx=½∫y'dx
lny'=½ (y + C₁)
y'=e^(½ (y + C₁));   dy/dx = e^(½ (y + C₁))
∫dy/e^(½ (y + C₁))=∫dx   −2/e^(½ (y + C₁)) = x + C₂
e^(½ (y + C₁)) = (C' − x)/2
½ (y + C₁)) = ln((C₂ − x)/2);   y = 2[ln((C₂ − x)/2) − C₁]
Вернуться к началу Перейти вниз
Посмотреть профиль
5ballov
Admin
avatar

Сообщения : 120
Дата регистрации : 2010-01-02
Откуда : Киев

СообщениеТема: Re: Дифференциальное уравнение второго порядка   Вт Янв 08, 2013 11:55 pm

Спасибо, Виктор!
Красивое преобразование!
Покажу ещё один способ.
Уравнение имеет одно нетривиальное решение:
y' = y'' = 0 → y = C

Перенесём   y'²   в правую часть и разделим на него обе части дифференциального уравнения.
2·y'' = y'²
2·y''/y'² = 1

После интегрирования получаем:
2/y' = −(x + C₂/C₁) ⇒ y' = −2/(x + C₂/C₁)

Интегрируем повторно:
y = −2·[ln(x + C₂/C₁) + ln C₁] = −2·ln(C₁·x + C₂)

При   C₁ = 0   y = −2·ln C₂ = C

Вот и всё решение Smile
Вернуться к началу Перейти вниз
Посмотреть профиль http://5ballov.pp.ua/
Спонсируемый контент




СообщениеТема: Re: Дифференциальное уравнение второго порядка   

Вернуться к началу Перейти вниз
 
Дифференциальное уравнение второго порядка
Вернуться к началу 
Страница 1 из 1

Права доступа к этому форуму:Вы не можете отвечать на сообщения
Готовимся к зачёту и сессии :: Математика-
Перейти: