Готовимся к зачёту и сессии

Обсуждение задач по математике, физике, экономическим, техническим и гуманитарным дисциплинам. Оказание услуг по выполнению студенческих контрольных и курсовых работ. Вы обязательно найдёте тех, с кем можно обсудить тот или иной вопрос по данной тематике!
 
ФорумФорум  ПорталПортал  КалендарьКалендарь  ЧаВоЧаВо  ПоискПоиск  ПользователиПользователи  ГруппыГруппы  РегистрацияРегистрация  Вход  
Последние темы
Поиск
 
 

Результаты :
 
Rechercher Расширенный поиск

Поделиться | 
 

 Задача на экстремум

Перейти вниз 
АвторСообщение
Марина



Сообщения : 29
Дата регистрации : 2010-01-02
Возраст : 25
Откуда : Екатеринбург

СообщениеТема: Задача на экстремум   Сб Апр 06, 2013 11:08 pm

Требуется выкопать яму канонической формы (воронку) с образующей a = 3 м. При какой глубине объем воронки будет наибольшим?
Думаю, нам полезно будет разобрать эту задачу для студентов-первокурсников большинства ВУЗов, изучающих математический анализ.
Вернуться к началу Перейти вниз
Посмотреть профиль
5ballov
Admin
avatar

Сообщения : 120
Дата регистрации : 2010-01-02
Откуда : Киев

СообщениеТема: Re: Задача на экстремум   Сб Апр 06, 2013 11:39 pm

Конечно, давайте разберём!
Задачу проще будет решить, применив тригонометрию.
Обозначим через   α   угол между образующей и высотой конуса. Тогда высота и радиус основания равны соответственно:
h = a·cos α = 3·cos α,   R = a·sin α = 3·sin α
Объём конуса

V = ⅓ π·R²·h = ⅓ π·a³·sin² α·cos α = ⅓ π·3³·sin² α·cos α = 9·π·sin² α·cos α

Применим основное тригонометрическое тождество:

V = 9·π·(1 − cos² α)·cos α

Введём обозначение   t = cos α,   0 < t < 1

Тогда   V = V(t) = 9·π·(1 − t²)·t = 9·π·(t − t³)

Найдём максимум функции   V(t):

V' = 9·π·(1 − 3·t²) = 0   при   t = 1/√3

При этом   h = 3·t = √3,   R = 3·√(1 − t²) = √6

max V = V(1/√3) = 9·π·(1 − (1/√3)²)·/√3 = 3·π·√3 · 2/3 = 2·π·√3

И напоследок — пример безграмотного решения этой задачи, найденный в интернете:

Спойлер:
 
Вернуться к началу Перейти вниз
Посмотреть профиль http://5ballov.pp.ua/
 
Задача на экстремум
Вернуться к началу 
Страница 1 из 1

Права доступа к этому форуму:Вы не можете отвечать на сообщения
Готовимся к зачёту и сессии :: Математика-
Перейти: